Laplacien scalaire

Opérateur du deuxième ordre noté \nabla^2 qui agit sur un champ scalaire. Le laplacien scalaire transforme un champ scalaire en un autre champ scalaire.

Source : Université en ligne Unisciel

Formules

Soit f(M)  un champ scalaire, son laplacien est défini par la relation : \nabla^2~f(M)=div[\overrightarrow{grad}~f(M)]

Expressions du laplacien scalaire dans différents systèmes de repérage :

Repérage cartésien : \nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}~+~\frac{\partial^2f}{\partial y^2}~+~\frac{\partial^2f}{\partial z^2}

Repérage cylindrique : \nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial \rho^2}~+\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \rho}~+~\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2f}{\partial \phi^2}~+~\frac{\partial^2f}{\partial z^2

Repérage sphérique : \nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial r^2}~+~\frac2r\frac{\partial f}{\partial r}~+~\frac1{r^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta^2}~+~\frac{\cot\theta}{r^2}\frac{\partial f}{\partial\theta}+\frac1{r^2~\sin^2\theta}\frac{\partial^2f}{\partial\phi^2}